STV mit Meeks Methode

Die von Brian Lawrence Meek entwickelte Methode[1] gilt als beste Umsetzung der Grundprinzipien von STV. Sie beseitigt das bei der Weighted Inclusive Gregory Method mögliche Paradox. Meeks Methode wird derzeit bei Wahlen auf kommunaler Ebene in Neuseeland verwendet. Sie ist auch im Gesetzentwurf des Berliner Volksbegehrens "Mehr Demokratie beim Wählen" vorgesehen.

Während bei den zuvor betrachteten STV-Methoden bereits gewählte Kandidaten keine weiteren Stimmen erhalten und übersprungen werden, wenn sie in der Präferenzfolge einiger Wähler hinter bereits gewählten oder bereits gestrichenen Kandidaten auftreten, können bereits gewählte Kandidaten bei Meeks Methode weitere Stimmen erhalten. Da jedoch wie bei allen STV-Methoden gilt, dass ein gewählter Kandidat nur so viele Stimmen behält, wie er benötigt, um die Quote zu erreichen, werden die erneut entstehenden Überschüsse wieder umverteilt. Dies geschieht dadurch, dass der Behaltewert der Kandidaten schrittweise immer weiter reduziert wird.

Der Behaltewert ist der Anteil, den ein gewählter Kandidat von jeder für ihn abgegebenen Stimme behält und den er auch von jedem Stimmenbruchteil behält, der bei ihm als Überschuss ankommt. Zu Beginn der Stimmenauszählung beträgt der Behaltewert jedes Kandidaten genau 1. Das heißt jeder Kandidat behält 100 % der Stimmen, die er empfängt, und gibt demzufolge nichts an den jeweils nächsten Kandidaten in der Präferenzfolge seiner Wähler weiter. Solange ein Kandidat weder gewählt noch ausgeschlossen ist, bleibt sein Behaltewert 1.

Erreicht bzw. übersteigt die Stimmenzahl eines Kandidaten die Quote, so ist der Kandidat gewählt. Sein Behaltewert wird dann so reduziert, dass die mit dem Behaltewert gewichteten Stimmen aller Wähler insgesamt genau die Quote ergeben. Hat ein Kandidat also das k-fache der Quote an Stimmen bekommen, so wird der Behaltewert auf 1/k gesetzt. Dementsprechend wird der nichtbehaltene Teil jeder Stimme weitergegeben, also (k-1)/k. Durch die Reduzierung des Behaltewertes eines Kandidaten wird von jenen Stimmen, die zur Wahl dieses Kandidaten beigetragen haben, jeweils ein größerer Teil als zuvor weitergegeben.

Wenn Stimmen an bereits gewählte Kandidaten übertragen werden, haben diese erneut einen Überschuss und müssen somit auch ihren Behaltewert reduzieren, wodurch ebenfalls wieder ein größerer Teil der Stimmen als zuvor übertragen wird. Dabei können auch wieder Stimmen an den zuerst betrachteten Kandidaten übertragen werden. Diese gegenseitigen Übertragungen führen in eine unendliche Rekursion. Allerdings werden die beim Hin- und Herübertragen verursachten Überschüsse und Behaltewertänderungen mit jedem Schritt kleiner. Die Behaltewerte streben also gegen die exakten Behaltewerte, auch wenn sie sie nicht erreichen. Daher muss festgelegt werden, wann diese Rekursion abgebrochen wird. Meek schlägt vor, die Rekursion abzubrechen, wenn die Stimmenzahl aller gewählten Kandidaten unter Verwendung der momentanen Behaltewerte um nicht mehr als einen vorgegebenen Bruchteil von der Quote abweicht, beispielsweise um 1/100000.

Die Verwendung von Behaltewerten führt zu einer simultanen Übertragung der Überschüsse, während bei den bisher betrachteten STV-Methoden definiert sein musste, in welcher Reihenfolge die Überschüsse übertragen werden, da davon abhängen konnte, in welcher Reihenfolge Kandidaten gewählt sind und welche Kandidaten zuerst die Quote erreichen und wessen Überschüsse dann verteilt werden bzw. wer fortan in der Präferenzfolge ausgelassen wird, wovon wiederum die Chancen der nachfolgenden Kandidaten abhängen, etwas von der Stimme des jeweiligen Wählers abzubekommen.

Eine zweite Besonderheit von Meeks Methode ist, dass im Verlauf der Auszählung die Quote neuberechnet wird. Da ein mehr oder weniger großer Teil der Wähler nicht sämtliche Kandidaten in seiner Präferenzfolge aufführt, sondern meist nur einige ihm bekannte Kandidaten, kommt es zu nicht-übertragbaren Stimmen. Auf diese Weise verringert sich im Laufe der Zeit die Anzahl der Stimmen, die überhaupt noch zur Verfügung stehen, um Kandidaten zu wählen. Da die Quote die niedrigste Anzahl der Stimmen angeben soll, die garantiert, dass nicht mehr Kandidaten gewählt werden als Sitze zu vergeben sind, muss folglich die Quote verringert werden, wenn die Zahl der relevanten Stimmen sinkt.

Die Reduzierung der Quote wird bei Meeks Methode jedes Mal vorgenommen, wenn sich die Zahl der nicht-übertragbaren Stimmen erhöht. Dazu wird die Gesamtzahl der nicht-übertragbaren Stimmen zum jeweiligen Zeitpunkt der Auszählung von der ursprünglichen Zahl der gültigen Stimmen abgezogen. Das Ergebnis wird dann um eins mehr als die Zahl der zu vergebenden Sitze geteilt. Ob zu diesem Bruch nun noch ein minimaler Teil von beispielsweise einem Milliardstel addiert wird oder nicht, ist in der Praxis nicht relevant. Die reduzierte Quote gilt jeweils auch für bereits gewählte Kandidaten, wodurch sich der Behaltewert dieser Kandidaten ebenfalls ändert.

Gestrichene Kandidaten verhalten sich bei Meeks Methode nach ihrer Streichung so, als wären sie gar nicht erst zur Wahl angetreten, mit der Ausnahme, dass andere bereits gestrichene Kandidaten nicht wieder zum Leben erweckt werden können.

Da die Berechnung der Behaltewerte wegen der Rekursionen sehr aufwendig ist, erfordert Meeks Methode eine Auszählung per Computer. Allenfalls bei Wahlen mit sehr wenigen Kandidaten mag eine Auszählung von Hand noch praktisch durchführbar sein. Für die Umsetzung von Meeks Methode – mit einigen notwendigen Ergänzungen[2] – in ein Computerprogramm wurde Algorithm 123 entwickelt[3].

Analog zum Begriff „Behaltewert“ kann zur leichteren Erklärung der Begriff „Weitergabewert“ eingeführt werden. Der Weitergabewert ist dabei der Anteil einer Stimme oder eines Stimmenbruchteils, der nicht behalten, sondern an die nächste verfügbare Präferenz weitergegeben wird oder, wenn keine weitere Präferenz vorhanden ist, nicht-übertragbar wird. Der Weitergabewert ist also die Differenz zwischen Behaltewert und 1.

Die Grundoperation bei Meeks Methode ist die Multiplikation: Der Wähler trägt zur Wahl eines Kandidaten mit dem Produkt aus dem Behaltewert dieses Kandidaten und den Produkten der Weitergabewerte jener Kandidaten bei, die in der Präferenzfolge des Wählers weiter oben standen.

Wenn der Behaltewert des Kandidaten A = a sei, jener des Kandidaten B = b, usw., und die Präferenzfolge eines Wählers A > B > C > D lautet, dann kommen a Stimmen bei Kandidat A an und 1 – a Stimmen werden an B weitergegeben; da B davon aber nur den prozentualen Anteil b behält, kommen (1 – a) · b Stimmen bei B an, weitergegeben werden also (1 – a) – (1 – a) · b Stimmen oder anders ausgedrückt: (1 – a) · (1 – b); bei Kandidat C kommen somit (1 – a) · (1 – b) · c Stimmen an; bei Kandidat D sind es (1 – a) · (1 – b) · (1 – c) · d.

Hat A beispielsweise einen Behaltewert von 0,8, B einen von 0,6, C einen von 0 und D einen von 0,9, so trägt ein Wähler mit der Präferenzfolge ABCD mit 0,8 Stimmen zum Wahlergebnis von Kandidat A bei, von den restlichen 0,2 Stimmen behält B 60 % bzw. 0,12 Stimmen; da C einen Behaltewert von 0 bzw. einen Weitergabewert von 1 hat, gibt er alles an D weiter; von den verbliebenen 0,08 Stimmen behält D 90 % bzw. 0,072 Stimmen. Da keine weitere Präferenz angegeben ist, sind die restlichen 0,008 Stimmen nicht übertragbar.

Die Stimme wird nur dann vollständig aufgebraucht, wenn der Wähler in seiner Präferenzfolge einen Kandidaten aufführt, der den Behaltewert 1 und somit den Weitergabewert 0 hat. Dies trifft auf jenen Kandidaten zu, der während der Auszählung das letzte Mandat erhält. Daneben kann es noch den seltenen Sonderfall geben, dass die Zahl der Erstpräferenzen eines Kandidaten genau der Quote entspricht. Da in den meisten Fällen die Stimme nicht vollständig aufgebraucht wird, gibt es bei Meeks Methode mehr nicht-übertragbare Stimmen als bei anderen Methoden.

Nehmen wir eine Wahl mit 32 Wählern, 5 Kandidaten und 3 zu vergebenden Sitzen an, bei der 12 Wähler die Präferenzfolge ABC, weitere 12 Wähler die Präferenzfolge BE, 7 Wähler nur den Kandidaten C und ein Wähler nur den Kandidaten D angegeben hat.

Nach der Zählung der Erstpräferenzen hat A 12 Stimmen, B 12 Stimmen, C 7 Stimmen und D eine Stimme. A und B haben die Quote überschritten und sind somit gewählt. Sie haben jeweils einen Überschuss, der übertragen werden muss.

Da B 12 Stimmen hat, aber nur 8 benötigt, wird der Behaltewert zunächst auf 2/3 festgesetzt, so dass B die benötigten 8 Stimmen behält und die überschüssigen 4 Stimmen entsprechend der Präferenzfolge BE an E weitergibt. Auch A muss nur 2/3 von jeder seiner 12 Stimmen behalten, kann also 4 Stimmen weitergeben. Der Stimmenstand beträgt somit A 8 Stimmen, B 8 + 2/3 * 4 = 10,666... Stimmen, C 7 Stimmen, D 1 Stimme, E 4 Stimmen.

Da B von den A-Wählern 4 Stimmen übertragen bekommen hatte, hat B einen erneuten Überschuss, so dass der Behaltewert neuberechnet werden muss. Da B nach wie vor nur 8 Stimmen benötigt, werden diese 8 Stimmen durch die tatsächliche Stimmenzahl von 10 + 2/3 Stimmen geteilt. Dies ergibt genau 0,75. Der bisherige Behaltewert von 2/3 wird nun mit 0,75 multipliziert. Der neue Behaltewert lautet somit genau 0,5.

Wendet man den neuen Behaltewert von B an, so tragen die 12 ABC-Wähler 8 Stimmen zur Wahl von A bei, geben 4 Stimmen an B weiter, von denen B jedoch nur die Hälfte (also 2 Stimmen) behält und die restlichen 2 Stimmen an C weitergibt. Von den 12 BE-Wähler erhält B jeweils eine halbe Stimme, also insgesamt 6 Stimmen, E erhält die restlichen 6 Stimmen. Des weiteren hat C 7 Stimmen und D 1 Stimme aufgrund von Erstpräferenzen. Zählt man die Stimmen zusammen, so hat A insgesamt 8 Stimmen, B 2 + 6 = 8 Stimmen, C 2 + 7 = 9 Stimmen, D 1 Stimme und E 6 Stimmen. Nach A und B hat somit auch C die Quote erreicht und ist gewählt. Die Auszählung ist beendet, da die erforderliche Zahl an Kandidaten gewählt wurde.

[1] Vgl. Brian L. Meek: A New Approach to the Single Transferable Vote. Paper I: Equality of Treatment of voters and a feedback mechanism for vote counting, in: Voting Matters, No. 1 (1994), http://www.mcdougall.org.uk/VM/ISSUE1/P1.HTM (abgerufen am 20.08.2007)

[2] Vgl. I. D. Hill: Implementing STV by Meek’s method, in: Voting Matters, No. 22 (2/2006), http://www.mcdougall.org.uk/VM/ISSUE22/I22P2.pdf (abgerufen am 04.09.2007)

[3] Vgl. I. D. Hill / B. A. Wichmann / D. R. Woodall: Algorithm 123 – Single Transferable Vote by Meek’s Method, in: The New Zealand Department of Internal Affairs, http://www.dia.govt.nz/diawebsite.NSF/Files/meekm/$file/meekm.pdf (abgerufen am 04.09.2007)